049. Коэффициент устойчивости тоники (КУТ)
Apr. 9th, 2012 11:18 pm![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
zverolov.
Импровизируя как-то вечером на клавишах в ультра локрийском ладу (DAC, он же 1212213) я обратил внимание что меня так и тянет оставливаться не на тонике, а на второй ступени. В принципе я знал что вторая ступень ультра локрийского лада соответствует тонике гармонического минора (B59, он же 2122131), построенного в том же звукоряду, так что я не очень удивился. Но мне захотелось найти какое-то математическое обоснование этому эффекту.
Для разгадки решил обратиться к квинтовым структурам того и другого лада.
Сразу бросается в глаза, что ступени гармонического минора находятся по квинтам ближе к тонике, тоника как бы «подпирается» ими, а тоника ультра локрийского лада окружена «квинтовым вакуумом» (прекрасный термин, я считаю ))) ). Отсюда возникла идея, придумать функцию, которая бы характеризовала квинтовую близость ступеней к тонике. Самое простое решение – каждой ступени сопоставить весовой коэффициент, характеризующий близость этой ступени к тонике. Для самой тоники взять коэффициент 3, для ступеней отстоящих на 1 квинту вверх/вниз от тоники взять коэффицент 2, и т.д. У тритона к тонике, наиболее удалённой от тоники ступени, своего рода «антитоники» коэффициент -3.
КУТ=k1*s1 + k2*s2 + … + k12*s12, где
ki – весовой коэффициент для i-ой ступени хроматического звукоряда,
si – входит ли i-ая ступень хроматического звукоряда в анализируемый лад (0 – не входит, 1 – входит)
Функция придумана, но насколько она хороша? Попробуем посчитать значение КУТ для всего семейства гармонического минора, куда входит и ультра локрийский лад.
У ультра локрийского лада коэффициент устойчивости отрицательный: -4, а у гармонического минора, на тонику которого я всегда сваливался, коэффициент устойчивости: 5. Вроде как функция работает!
А что с обычными натуральными ладами?
Результат тоже выглядит вполне разумным. Минимальные значения у локрийского и лидийского. В локрийском есть уменьшенная квинта, в лидийском увеличенная кварта (и та и та равны тритону, с весовым коэффициентам -3). Максимальное значение КУТ у дорийского лада, ступени которого расположены в квинтовой структуре строго симметрично относительно тоники (три выше и три ниже). Любопытно, что КУТ эолийского (минора) получился больше чем у ионийского (мажора). Это из-за наличия большой септимы в мажоре (11 полутонов от тоники) которая соответствует +5 квинтам и весовому коэффициенту -2.
Максимально возможное значение КУТ равно 9. Им обладают 4 лада: уже упомянутый дорийский и три родственных дорийскому (образуются из него исключением III и VI ступеней, весовой коэффициент этих ступеней дорийского лада равен 0):
Минимально возможное значение КУТ равно -6 (а не -9, как можно было бы ожидать). +3 всегда вносит тоника, а ладов без тоники не бывает! (Напомню что в моих записях «лад» понимается в узком смысле структуры звукоряда построенного от некого основного тона, тоники). Почему бы не исключить тонику из формулы, если она всегда есть и всегда вносит +3? Есть тому причина, но об этом в следующий раз (050). Ну а пока 4 довольно экзотических лада с КУТ равным –6
КУТ ещё для двух важных семейств ладов:
К сожалению, все эти полуэмпирические рассуждения неплохо работают только для тоники. Как посчитать устойчивость других ступеней лада я пока не знаю. Завтра расскажу о КУТ для ладов ограниченной транспозиции, в частности для ладов Мессиана (050).
Оглавление Словарь Словарь МТ
Импровизируя как-то вечером на клавишах в ультра локрийском ладу (DAC, он же 1212213) я обратил внимание что меня так и тянет оставливаться не на тонике, а на второй ступени. В принципе я знал что вторая ступень ультра локрийского лада соответствует тонике гармонического минора (B59, он же 2122131), построенного в том же звукоряду, так что я не очень удивился. Но мне захотелось найти какое-то математическое обоснование этому эффекту.
Для разгадки решил обратиться к квинтовым структурам того и другого лада.
Сразу бросается в глаза, что ступени гармонического минора находятся по квинтам ближе к тонике, тоника как бы «подпирается» ими, а тоника ультра локрийского лада окружена «квинтовым вакуумом» (прекрасный термин, я считаю ))) ). Отсюда возникла идея, придумать функцию, которая бы характеризовала квинтовую близость ступеней к тонике. Самое простое решение – каждой ступени сопоставить весовой коэффициент, характеризующий близость этой ступени к тонике. Для самой тоники взять коэффициент 3, для ступеней отстоящих на 1 квинту вверх/вниз от тоники взять коэффицент 2, и т.д. У тритона к тонике, наиболее удалённой от тоники ступени, своего рода «антитоники» коэффициент -3.
КУТ=k1*s1 + k2*s2 + … + k12*s12, где
ki – весовой коэффициент для i-ой ступени хроматического звукоряда,
si – входит ли i-ая ступень хроматического звукоряда в анализируемый лад (0 – не входит, 1 – входит)
Функция придумана, но насколько она хороша? Попробуем посчитать значение КУТ для всего семейства гармонического минора, куда входит и ультра локрийский лад.
У ультра локрийского лада коэффициент устойчивости отрицательный: -4, а у гармонического минора, на тонику которого я всегда сваливался, коэффициент устойчивости: 5. Вроде как функция работает!
А что с обычными натуральными ладами?
Результат тоже выглядит вполне разумным. Минимальные значения у локрийского и лидийского. В локрийском есть уменьшенная квинта, в лидийском увеличенная кварта (и та и та равны тритону, с весовым коэффициентам -3). Максимальное значение КУТ у дорийского лада, ступени которого расположены в квинтовой структуре строго симметрично относительно тоники (три выше и три ниже). Любопытно, что КУТ эолийского (минора) получился больше чем у ионийского (мажора). Это из-за наличия большой септимы в мажоре (11 полутонов от тоники) которая соответствует +5 квинтам и весовому коэффициенту -2.
Максимально возможное значение КУТ равно 9. Им обладают 4 лада: уже упомянутый дорийский и три родственных дорийскому (образуются из него исключением III и VI ступеней, весовой коэффициент этих ступеней дорийского лада равен 0):
Минимально возможное значение КУТ равно -6 (а не -9, как можно было бы ожидать). +3 всегда вносит тоника, а ладов без тоники не бывает! (Напомню что в моих записях «лад» понимается в узком смысле структуры звукоряда построенного от некого основного тона, тоники). Почему бы не исключить тонику из формулы, если она всегда есть и всегда вносит +3? Есть тому причина, но об этом в следующий раз (050). Ну а пока 4 довольно экзотических лада с КУТ равным –6
КУТ ещё для двух важных семейств ладов:
К сожалению, все эти полуэмпирические рассуждения неплохо работают только для тоники. Как посчитать устойчивость других ступеней лада я пока не знаю. Завтра расскажу о КУТ для ладов ограниченной транспозиции, в частности для ладов Мессиана (050).
Оглавление Словарь Словарь МТ
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
no subject
Date: 2012-04-10 06:22 pm (UTC)лад можно рассматривать как массив величин - по идее не только единиц и нулей (т.е. входит нота в лад или нет), но и нецелых значений (в зависимости от устойчивости).
если эти значения нормализовать (чтобы в сумме они давали единицу) - то к этому массиву будет применима вся математика случайных величин.
КУТ в этом смысле - http://ru.wikipedia.org/wiki/Абсолютное_отклонение .
думаю, правдоподобнее всего рассматривать лад как распределение во многомерном вероятностном пространстве - не только квинтового, но и терцового и других гармонических направлений, а также "симметрических направлений".
кстати, рассматривая лады как нули и единицы на равномерно темперированном строе, ты видишь лишь их проекцию на одномерное пространство "симметрического направления 2^(1/12)"..
no subject
Date: 2012-04-10 06:49 pm (UTC)no subject
Date: 2012-04-11 05:18 am (UTC)кстати, "ультра локрийский" лад, по-видимому, модальный
no subject
Date: 2012-04-10 06:58 pm (UTC)